lunedì 27 agosto 2012

Impedenza (for dummies)


Se Tu, Lettore, dovessi avere delle conoscenze, anche di base, di Fisica nel campo dell’Elettrotecnica, dell’Idraulica, dell’Ottica, dell’Acustica o della Meccanica applicata, puoi senz’altro saltare “a piè pari” questo post; lo troveresti probabilmente semplicistico e poco rigoroso, forse anche impreciso o inesatto, sicuramente inutile.
Ma se dovessi far parte del folto gruppo di coloro che non hanno tali conoscenze, se hai sempre sentito parlare di impedenza e non hai mai esattamente compreso quale entità fisica venga descritta da tale termine, è invece possibile che il post possa contribuire a chiarificarti le idee
In Fisica vi sono diverse categorie di fenomeni in cui il risultato dell’applicazione di una forza dipende da un’altra variabile, oltre che dall’entità e dalla direzione della forza. Cerco di spiegarmi meglio con un esempio.
Immaginiamo di dover applicare una forza ad un corpo per accelerarlo. Una situazione pratica potrebbe essere quella di spingere un’automobile con il motore spento; un’altra potrebbe essere quella di lanciare un sasso. Se il corpo ha una massa maggiore, l’accelerazione che otteniamo, a parità di forza, sarà minore. Un’automobile più pesante comincerà a muoversi con più difficoltà e più lentamente; ad un sasso più pesante riusciremo ad imprimere una velocità minore.
In altri termini, l’accelerazione dipende dalla forza applicata, ma a parità di forza, dipende dalla massa del corpo: maggiore è la massa, minore sarà l’accelerazione.
Questo concetto è in pratica contenuto nel Secondo Principio della Dinamica; F=m*a, per cui a=F/m.
Il rapporto tra massa ed accelerazione è lineare. Ciò vuol dire che se, data una certa forza, vogliamo rendere in modo grafico il rapporto tra masse diverse e le corrispondenti accelerazioni, i punti che segnano le coppie di valori in un sistema di assi cartesiani si dispongono su una linea retta. L’inclinazione della retta rispetto al sistema di assi è determinata dall’entità della forza. Se Tu, Lettore, vuoi fare verifiche pratiche di questo tipo puoi ricorrere all’ottimo MathScribe che trovi qui:
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Questa relazione lineare si ritrova anche per altri tipi di forza. Una di queste è, ad esempio, la forza elettromotrice. Questa fa muovere gli elettroni lungo un conduttore. Per sottoporre gli elettroni del conduttore alla forza elettromotrice devi applicare una differenza di potenziale agli estremi del conduttore. Applicando detta differenza di potenziale (tensione) alle estremità del conduttore, avrai un movimento (corrente) di elettroni lungo di esso. Il rapporto tra tensione e corrente è anch’esso lineare, ed il suo valore è denominato resistenza (elettrica). Mentre la massa è considerata una delle unità dimensionali fondamentali (quelle con le quali si esprimono tutte le altre) la resistenza non lo è; ma il concetto è peraltro il medesimo. Ed è identica anche la formula che la descrive. R=V/I
E l’identico concetto si applica allo scorrimento di un liquido in un tubo rigido (qui, Lettore, il fato che il tubo sia rigido è assolutamente fondamentale; più avanti vedrai il perché). Se si applica una pressione maggiore ad un’estremità del tubo, si creerà uno squilibrio pressorio, una differenza di pressione che spingerà il liquido a percorrere il tubo verso l’estremità dove la pressione è minore. Pensa ad esempio ad una siringa nella quale premi lo stantuffo. Qui applicando una differenza di pressione (pressione), avrai un movimento di liquido (flusso); se come nel caso della siringa, l’estremità opposta è molto ristretta il liquido si muoverà con più difficoltà, mentre se è libera scorrerà con più facilità. Il rapporto tra pressione applicata e flusso generato è anch’esso lineare, ed è assolutamente analogo a quello tra tensione e corrente; lo è tanto che, analogamente a quanto accade per tensione e corrente anche il rapporto tra pressione e flusso si chiama resistenza (idraulica). Anzi l’analogia è tanto stretta che mi fornisce l’occasione per una piccola digressione.
inizio digressione -
Tale analogia è stata, ed è ancora usata, per creare modelli di circuiti idraulici o sistemi meccanici avvalendosi di componenti elettrici. In passato, al fine di calcolare i parametri dei sistemi idraulici complessi, si sfruttava tale analogia per realizzare dei dispositivi elettrici che, date delle grandezze elettriche in entrata analoghe a quelle idrauliche, fornivano in uscita altre grandezze elettriche dalle quali si risaliva alle corrispondenti grandezze idrauliche. Dispositivi del tutto simili si utilizzavano per i sistemi meccanici. I dispositivi che sfruttavano l’analogia elettrica per calcolare i parametri idraulici o meccanici si chiamavano “calcolatori analogici”. La fine dei calcolatori analogici fu decretata dalla comparsa del calcolatore digitale (anzi, come diceva Rita Bonelli in un suo libro, “calcolatore elettronico automatico digitale”), che in Italia, per adottare l’ennesimo inglesismo, tutti chiamano “computer”. Il suo nome è però calcolatore digitale, in quanto consente di realizzare modelli numerici, eseguendo calcoli basati su formule, contrapposto al calcolatore analogico, che ottiene i risultati basandosi sulle analogie. E’ questa l’origine del termine “analogico” contrapposto a “digitale”. E quindi chiamare “macchina fotografica analogica” una fotocamera che usi una pellicola e non un sensore CCD/CMOS è una terminologia tanto insensata dal punto di vista semantico da rasentare il ridicolo.
- fine digressione
Ritorniamo alla nostra siringa, che altro non è che un tubo rigido con uno stantuffo ad un’estremità, ed un restringimento all’altra. Anche nel caso della resistenza idraulica, l’espressione è identica: R=dP/Q. Ammettiamo ora di avere una siringa molto grande, in cui almeno parte del “tubo”, subito dopo lo stantuffo, non sia rigido, ma sia fatto di gomma che entro certi limiti può dilatarsi. Cominciando a premere sullo stantuffo, non tutta la forza applicata verrà impiegata per muovere il liquido; parte di essa servirà a dilatare il tubo di gomma. Una volta raggiunta la massima dilatazione,il sistema tornerà a comportarsi come una siringa tradizionale. Mentre nella siringa normale all’applicazione della forza consegue istantaneamente il movimento del liquido, in una siringa con pareti elastiche ci sarà un certo ritardo (“transitorio”) perché il movimento avvenga alla velocità usuale (“funzionamento a regime”). Similmente, quando avremo smesso di pigiare sullo stantuffo, il flusso non cesserà subito, ma durerà fin quando la parte di gomma del tubo non si sarà sgonfiata. In pratica, il flusso inizia dopo la pressione sullo stantuffo e cessa dopo che la pressione sia già cessata. Il flusso e la pressione non sono più sincronizzati, ma sono sfasati. Nel funzionamento a regime, il flusso è sempre regolato dalla relazione che comprende la resistenza Q=dP/R; ma occorre un altro numero che ci indichi qual è il ritardo tra pressione e flusso, che quantifichi lo sfasamento.
Ammettiamo adesso di pigiare e tirare lo stantuffo ripetutamente , in maniera ciclica, sempre perfettamente uguale e costante ad ogni ciclo. La pressione ed il flusso varieranno ciclicamente, con andamento periodico che può essere descritto matematicamente tramite una funzione periodica come il coseno; un moto descritto da una funzione sinusoidale di questo tipo è detto moto armonico semplice. In forma grafica, l’ampiezza della pressione e quella del flusso sembreranno onde sinusoidali. In ogni punto il rapporto del valore dell’onda di pressione e quella di flusso nel punto corrispondente sarà pari ad R e descritto dall’equazione vista prima; il suo valore sarà un numero detto “modulo”. Lo sfasamento tra i punti omologhi verrà invece descritto da un altro numero, spesso espresso in gradi: la “fase”.




L’impedenza allora descrive la relazione tra due fenomeni periodici regolari, legati da una relazione lineare, servendosi di due valori detti modulo e fase; ed in matematica vi sono dei numeri che sono formati da coppie di valori: sono i numeri complessi. Ma non importa qui la forma matematica nella quale vengono espressi (in realtà, si usano gli esponenziali complessi). Ciò che desidero esprimere è il concetto per cui tra le quantità in gioco vi è una relazione ed uno sfasamento; e l’impedenza deve tenere conto di ambedue. Che si tratti di tensione/corrente, pressione/flusso o forza/spostamento, non importa. Nei fenomeni periodici queste due grandezze sono legate non solo da un rapporto nell’entità, ma anche da una fase.
Quindi, per misurare l’impedenza elettrica occorre misurare l’andamento della pressione e quello della corrente e verificare in che relazione stanno i picchi d’onda. Per l’impedenza idraulica bisogna conoscere l’ampiezza dell’onda di pressione, quella di flusso, ed il ritardo di fase; e così via.
Vi è però un’ulteriore complicazione. All’infuori di casi quali quello di tensione e corrente, in cui la tensione viene generata con andamento perfettamente sinusoidale, difficilmente nella pratica la morfologia della curva dei fenomeni periodici è quella di un moto armonico semplice. E ciò è particolarmente vero per i segnali elettrici musicali, ad esempio, o nel caso dell’impedenza idraulica. Come è possibile il calcolo in questi casi?
Ci viene in aiuto il teorema di Fourier. Fourier era un generale di Napoleone, che probabilmente privilegiava le operazioni aritmetiche a quelle sul campo di battaglia. Dimostrò che qualunque fenomeno periodico può essere descritto da una somma di onde sinusoidali di frequenza parì o multipla a quella del fenomeno, di differente, opportuna, ampiezza, ed opportunamente sfasate, più una costante. La frequenza di base è “fondamentale”, i multipli della frequenza di base sono le “armoniche”. Nel caso allora di funzioni non sinusoidali occorre allora scomporre la curva descritta dalla funzione nelle componenti sinusoidali, e riferire l’impedenza ad ognuno di essi.
Le potenze di calcolo odierne rendono possibile la scomposizione in tempo reale, operazione prima non possibile. Volendo misurare allora l’impedenza in un sistema che tratti segnali la cui morfologia è complessa occorre allora rilevare simultaneamente l’andamento dei due fenomeni interessati (tensione/corrente, Pressione/flusso, etc), scomporli nelle componenti sinusoidali, e calcolare modulo e fase per ogni frequenza interessata.
Un sistema suscettibile di descrizione analitica ha di solito anche la possibilità della formulazione analitica delle impedenze. Se il sistema è tanto complesso che la descrizione analitica risulta un’astrazione teorica, ugualmente astratto risulta il nesso tra ciò che viene calcolato e ciò che viene misurato. Nel diciannovesimo secolo sir Cyril Hinshelwood affermava che gli studiosi di fluidodinamica si dividevano in due gruppi: gli ingegneri idraulici, che osservavano fenomeni che non potevano essere descritti matematicamente, ed i matematici, che descrivevano fenomeni che non potevano venire osservati. L’affermazione fu ripresa da MacDonald (non quello degli hamburger; quello di cui parlo è un altro) per descrivere le difficoltà riscontrate nella descrizione matematico-analitica del sistema arterioso degli animali superiori, e dell’uomo in particolare. Quindi, nel sistema vascolare umano la formulazione analitica dell’impedenza è una cosa; un’altra è la sua misurazione. Per questa, occorre rilevare curva di pressione e di flusso contemporaneamente, scom-porle tramite un analizzatore, e calcolare l’impedenza con riferimento alla frequenza che ci interessa. Una cosa completamente diversa da un calcolo analitico. Proprio come diceva sir Cyril Hinshelwood.
E per finire, è doverosa una precisazione, Lettore: il fatto che un fenomeno periodico complesso possa essere scomposto in onde sinusoidali semplici, non vuol dire che esso sia composto da sinusoidi semplici. La scomposizione è un artifizio matematico, che ci serve per il calcolo; ma le frequenze sinusoidali in cui esso viene scomposto non hanno necessariamente un significato fisico. Un sassofono genera un’onda di morfologia profondamente diversa da quella di un pianoforte; ma sassofono o pianoforte non “costruiscono” le loro onde sommando sinusoidi. Siamo noi umani che per descrivere trattare il segnale abbiamo bisogno di esprimerlo come somma di sinusoidi. Tutto ciò è stato particolarmente vero per il sistema arterioso umano; negli anni Ottanta del secolo scorso si arrivò ad asserire che non aveva senso parlare di pressione arteriosa sistolica e diastolica. La “massima” e la “minima” sarebbero state solo i punti in cui la somma delle armoniche che costituivano l’onda di pressione dava un massimo ed un minimo. E nello stesso modo, l’ipertensione arteriosa sarebbe dipesa solo da una variazione dell’impedenza delle pareti arteriose per certe frequenze. Qui, addirittura, si negò il significato fisico del fenomeno osservato, attribuendolo solo al risultato dell’artifizio matematico.

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